АСУТП
Математикалық модельдеудің негізгі принциптері
Барлық модельдер және модельдеу түрлерінің ортасында бізге маңыздысы математикалық модель мен математикалық модельдеу түсініктері.
Әр қарай ақпаратты түсіну үшін кейбір түсініктерді анықтайық.
Математикалық модель дегеніміз — математикалық қатынастар түрінде жазылған, техникалық объект немесе құбылыс туралы білімдердің, ұсыныстардың және ғылыми болжам жиынтығы.
Математикалық модельдеу дегеніміз - математикалық модельге кіретін теңдеулерді аналитикалық, сандық (ЭЕМ-да), немесе аналогтық (АЕМ) шешу жолымен оның математикалық моделі бойынша объектіні немесе құбылысты зерттеу процесі.
Математикалық модельдеудің түрі – имитациялық модельдеу.
Зерттеу объектілері (ЗО) — электр жетегімен қимылға келтірілетін машиналар, механизмдер, технологиялық желілер, сондай-ақ осы жүйелердің элементтері: автоматтық реттеуіштер; түзеткіш буындары; сүзгілер; сигналдарды беру және шектеу блоктары; датчиктер; жеке электр тізбектері [1].
Физикалық құрылғысына қарамай кез келген құрылғыларды жобалау кезіндегі кейбір жалпы түсініктерді айтып кетейік.
Жобалау құрылғысының элементтерінің параметрлері – ішкі параметрлер деп аталады. Құрылғының жұмыс істеу сапасын бағалайтын параметрлері – шығыс параметрлері деп аталады. Сыртқы ақпараттық сигналдарының құрылғыға әсер беретін параметрлері – кіріс, ал қоршаған ортаның параметрлері – сыртқы параметрлері деп аталады [1].
Кез келген зерттеу объектісін "қара жәшік" ретінде қарастыруға болады.
"Қара жәшік" – ол объектінің кіріс және шығыс параметрлерін талдау мүмкінділігі бар зерттеу әдісі.
"Қара жәшік" ретінде көрсетілген зертеу объектісін графикалық түрде 4.1. суретте көруге болады.
X(t) – пайдалы кіріс сигналдарының векторы; Y(t) – шығыс сигналдарының векторы;
F(t) – сыртқы ұйытқу әсерлерінің векторы; W(p) – беріліс функциясының түрі
4.1 - сурет – Зерттеу объектісінің «қара жәшік» түрінде
көрсетілген графикалық бейнесі
Сонымен, зерттеу объектісі кіріске келген сигналдарды әр түрлі математикалық модельдер бойынша түрлендіреді. Мысалы, зертеу объектісі:
– дифференциал теңдеу арқылы немесе операторлы түрде;
– беріліс функциясы ретінде;
– теңдеулер тағы да басқа түрде жазылуы мүмкін.
Операторлы түрде жазу үшін, теңдеулерге келесі тік алмастыруды қолдану керек:
(4.1)
(4.2)
(4.3)
Осындай алмастыру Лаплас түрлендіру деп аталады. P және s әріптер бір ұғымды білдіріп – Лаплас операторы деп аталады. (4.1), (4.2) және (4.3) формулалар тікелей алмастыруын көрсетеді. Лаплас түрлендірулерідифференциал теңдеулерін қарапайым алгебралық теңдеулер түрінде келтіруге болдады, оларды шешу оңай болады және оларды беріліс функцияларын жазу түрінде қолданады.
Беріліс функциясы - Лаплас бейнелеуі шығыстың кіріс сигналының қатынасы болып табылады [2]. 4.1 суретте көрсетілген сұлбаның беріліс функциясын келесі түрде жазуға болады:
(4.4)
"Қара жәшік" ретінде көрсетілген зерттеу объектісінің графикалық сұлбаларында беріліс функциясын тік бұрыш ішінде жазады. Мұндай тік бұрыштарды буындар деп немесе блок деп атайды. Буындардан тұратын сұлбаларды құрылымдық, функционалды немесе блок-схема деп атауға болады. Буынның түріне байланысты шығыс пен кіріс қатынастарының сигналдарын келесі түрде көрсетуге болады:
1) математикалық функция ретінде: синус, косинус, логарифм, көрсеткіш функция және т. б. Осы блокқа берілетін сан, аргумент ретінде қарастырылады;
2) математикалық операция ретінде: (қосу және алу, интегралдау және т.б);
3) жіберу коэффициенті, яғни шығыс/кіріс қатынасы.
Бір кірістен (кірістерден) немесе шығыстан (шығыстардан) тұратын блоктар (буындар) бар.
Зерттеу объектісі ретінде қарастырылатын техникалық және физикалық жүйердің сипаттамалары мен қасиеттері
Барлық қарастырылған ақпараттар басқару объектілерінің физикалық жүйелеріне, яғни процестерді сипаттайтын және талдаудың әдістеріне арналған.
Динамикалық жүйелерді модельдеу кезіндегі физикалық тәсілдер күш баланстарының, массаның, энергияның және моменттерінің теңдеулеріне негізделген.
Механикалық жүйелер
Кез келген динамикалық моделдің механикалық жүйесін құруының негізінде Ньютонның екінші заңы қолданылады.
Ньютон заңын қолдану үшін бірнеше санау жүйесі қажет, онда объектінің орны, жылдамдығы және үдеуі анықталады. F – денеге әсер ететін барлық күштердің суммасының векторы деп, m – дененің массасы деп, ал zдененің орнын сипаттайтын векторы деп есептейік. a үдеуінің бағыты F векторының бағытымен бірдей. Күштің баланс теңдеуі төмендегідей:
(4.5)
Негізінде Ньютон m∙υ импульс туралы төмендегідей пікірін берген:
(4.6)
Ньютонның екінші заңын күйінің теңдеуі атты бірінші дәреженің дифференциал теңдеулерінің жүйесі арқылы жазуға болады. Тік сызықты (прямолинейном) қозғалыста z координатасы және υ жылдамдығы скаляр ретінде көрсетіледі:
және .
(4.7)
Жалпы динамиканың теңдеуі – ол Лагранж теңдеуі.
Айналыс жүйелері үшін Ньютон заңы келесі түрде жазылады:
,
(4.8)
мұнда Т – денеге әсер ететін барлық моменттерінің суммасы, J – инерция моменті және ω – бұрыштық жылдамдығы (4.2 сурет). Кейде J – тұрақсыз шама, мысалы, өндірістік роботың немесе прокатты станның жұмыс кезінде оның уақыттан тәуелділігін есептеу керек.
4.2 - сурет – Айналыс жүйелері үшін Ньютон заңы
Егер ε бұрылыс бұрышын енгізсе, онда айналыс динамика күйінің теңдеуін сипаттауға болады. Бұл жағдайда, бұрылыстың бағыты берілген және J шамасын тұрақты деп есептейміз. Онда дифференциал теңдеулері келесі түрде жазылады:
және .
(4.9)
Лагранж теңдеуі Ньютон заңының жалпыланған формасы болып табылады. Формасы өзгертілген мехникалық жүйелер болады, мысалы, ұшақтың қанаты. Ұшу кезінде жағымсыз тербелістер болу мүмкін. Бұндай динамикалық жүйелер басқару үшін өте күрделі болып келеді.
Электрмагниттік тізбектер
Электрмагниттік тізбектің көпшілік динамикасы бірнеше негізгі заңдармен аңықталады. Кирхгофф заңдары электр тізбектегі тоқпен кенеулердің байланыстарын сипаттайды. Электр тізбектер тармақпен түйіндерді құрайды.Тармақ (branch) - өткізгіш немесе екі ұшы бар элемент реттінде анықталады. Тармақтың элементі пассивті, яғни тоқты сақтайтын қолданатын немесе активті, яғни тоқты немесе кернеуді генерациялайды. Түйін (node) – ол үш немесе одан көп тармақтарды қосатын нүкте. Түйінде тоқ бір емес бірнеше жолдардан тұрады.
Тоқтар үшін Кирхгофф заңы – кез келген түйіннің барлық тоқтарының қосындысы нөлге тең.
Кернеу үшін Кирхгофф заңы – кез келген тұйық контурдың кернеуінің түсу қосындысы нөлге тең.
Кернеудің балансын жазу кезінде тұйық контур бойынан кез келген бағытқа қарай жүруге және кернеудің түсуі әр элемент бір рет қана ескерілгенде қосуға болады.
Электрмагнитті теорияның негіздері Максвелла теңдеулерінде тұжырымдалған. Динамикалық жүйелердің көзқарасы бойынша күйі уақыттан тәуелді 2 элемент бар: электр зарядты жинақтайтын – конденсатор және магнитті өрісін жинақтайтын – сыйымдылық.
Конденсатор электр зарядын жинақтайды, яғни электр өрісіндегі энергиясы сақталады. Уақыт бойынша конденсатордан өтетін тоқ конденсатор кернеуінің туындысына пропорционалды:
,
(4.10)
мұнда С - конденсатордың сыйымдылығы.
4.3 суретте көрсетілген қарапайым резисторлы-сыйымдылық тізбегін қарастырып кернеу көзінің конденсатор кернеуіне тәуелсіздігін талдайық.
4.3 - сурет – Бірінші дәрежесінің пассивті төменгі жиілік RC-фильтрі
Тізбектегі кернеулер үшін Кирхгофф заңы:
.
(4.11)
мұнда R – активті кедергі, ал U0 конденсатордың кернеуі. Ол келесі теңдеумен анықталады:
.
(4.12)
Дифференциалды теңдеуден i тоқты шығарған соң:
.
(4.13)
Бұл бірінші ретінің дифференциалды теңдеуі тұрақты уақытымен (time constant) сипатталады:
.
(4.14)
Егер конденсатордың бастапқы кернеуі нөлге тең болса, онда кіріс кернеудің секіруі (скачок) конденсатор кернеуінің экспоненциалды өсуін тудырады:
.
(4.15)
4.4 суретінде RC-тізбегінің Т тұрақты уақыт түрлі мәндерінің ауыспалы процесі көрсетілген. Т мәні өскенде процестің реакциясы төмендейді.
4.4 - сурет - Кіріс кернеуінің T=R·C тұрақты уақыттың
түрлі мәндеріндегі секіріс кезіндегі RC-тізбегінің
конденсатордың кернеуінің өзгеруі
Электроникада және байланыс техникасында жүйелердің практика ретінде талдауы кіріс синусоидалы сигнал қолданылады. Тізбектің кіріс кернеуін келесі теңдеуге тең деп есептейік:
,
(4.16)
мұнда Ui – амплитуданың максималды тербелісі. Конденсатордың шығыс кернеуі біраз уақыттан соң синусоидалы сигнал болады.
Кіріс және шығыс сигналының жиілігі бірдей болады, бір-ақ амплитудасымен фазасы басқа болады:
,
(4.17)
мұнда және .
(4.18)
Жиіліктің өсуіне байланысты шығыс кернеуінің амплитудасы азаяды және фазасы көп артады. Осындай сипаттамалары бар тізбекті төмен жиілікті фильтр деп атайды, өйткені ол төменгі жиіліктерді өткізіп, ал үлкен жиіліктерді сөндіреді.
Қарастырылған мысал сызықты жүйелердің сипатталуының екі негізгі әдістерін көрсетеді: уақыт аймағындағы (time-domain) және жиілік аймағындағы (frequency-domain). Уақытты аймағындағы талдау жүйенің уақыттағы мінез-құлқын қарастырады, яғни жүйенің нақты кіріс сигналының – секіруін уақыттан тәуелсіздігін қарастырыды. Жиілік талдауы сыртқы әсердің түрлі жиілік мәндерінің беру кезіндегі жүйенің мінез-құлқына қалай өзгереді екенін зерттейді.
Магнитті өріс уақыт бойынша өзгерілгенде электр өрісі пайда болады. Ол Максвеллдың теңдеуімен сипатталатын Фарадей заңы (электромагнитты индукцияның заңы). Индукция заңы бойынша идеалды катушканың (яғни активті кедергісіз катушка) соңдарына келтірілген индукцияның кернеуі е (индукциясының э.қ.қ) тең:
,
(4.19)
мұнда Ψ–катушканың орамдары арқылы ағымды тіркелуі (потокосцепление ағымды тіркелуі – бұл Ф магнитті ағымның бір орам арқылы бірнеше орамнын санына көбейтіндісі N)
I тоғы және L сыймдылығында катушканың ағымды тіркелуі:
,
(4.20)
Басқаша айтсақ, катушкадағы энергия (сыймдылықта) магнитті өрісте сақталады.
Сыймдылық пен индукцияның дифференциалды теңдеулері электрмагниттік тізбектерді сипатайтын негіз болып табылады. Басқа қатынастарды алгебралық түрлендірулер арқылы негізгі теңдеулерден алуға болады. В магнитті индукция мен H магнитті өрісінің кернеулік қатынастары орталықтың қасиеттерімен анықталады:
,
(4.21)
мұнда μ – материалдың магнитті өткізгіштігі.
Ферромагнитті материалдарда өткізгіштер тұрақты емес және H үлкен мәндері үшін Ф магнитті ағымының мәні B магнитті индукциясына пропорционалды және ол қаныққан болады. Магнитті өрістің қануығуын болдыратын, магнитті ағыммен тоқтың байланысы 4.5 суретінде көрсетілген.
4.5 - сурет – Қарапайым магнитті тізбек (а);
гистерезисы жоқ магнитталған типті қисық (б)
Магнитті тізбектерді жиі сипаттаған кезде гистерезистің болуын ескеру керек, өйткені магнитті индукциясы тек тоқтың функциясы емес, сонымен қоса ол алдын ала магниттелуге тәуелді.
Массаның балансы
Көпшілік өндірістік процестер үшін түрлі компоненттердін массасының балансын модельдеу манызды болып келеді. Сыртқы әлеммен алмастыру жүретін ашық жүйеде массаның барлық баланс теңдеуі бірдей құрылымға ие:
массаның өзгеруі (приращение) = массаның кірісі - массаның шығыны
Осындай теңдеуді әр жеке компонент үшін сонымен қоса барлық масса үшін жазуға болады. Массаның кірісі (шығыны) кіріс (шығыс) ағымнан сонымен қоса химиялық реакциясының немесе биологиялық өсуінен пайда болады.
Баланс теңдеуін, құруға болады:
Барлық массасы және компоненттердің массасы.
Егер сұйықтың шығын ағымы V көлемінен қарағанда аз болса (бұл үлкен Т мәніне сәйкес), онда концентрациясы аздап өзгереді. Яғни, компоненттердің баланс массалары төменгі жиілікті фильтр сияқты динамикалық қасиетке ие.
Энергияны сақтау теңдеулері
Кейбір процестерде температураны реттеу қажет. Температураны басқару жүйесінің динамикалық моделі жылу ағымының және жылу энергияның жинақтауын ескеру керек. Көп жағдайларда объектіде өтетін жылу ағымы оның шекарасының температурасының айырмасына пропорционал:
,
(4.22)
мұнда: q – жылу ағымы, R – жылу кедергісі және T– температурасы. Жылу ауысу мәні А аланына пропорционалды және жылу ағымының I жолының ұзындығына кері пропорционалды деп модельденеді:
,
(4.23)
мұнда k – жылу өткізгіш. Жылу энергияның сақтауын келесі сипаттаумен жазуға болады:
,
(4.24)
мұнда C – жылу сыйымдылық, q – кіріс және шығыс жылу ағымдарының алгебралық қосындысы.
Жылу энергиясының сақтау заңының мысалы ретінде бак ішіндегі сұйықтық жылу балансын келтіруге болады.
Сатылы-бірлік әсер
Сатылы-бірлік әсер келесі формула арқылы көрсетіледі:
(4.25)
4.6 суретте функцияның графигі көрсетілген.
4.6 - сурет – 1(t) функция графигі
Егер функцияның өтуін (секіруі) нөлден бірге емес және нөлді емес уақыт моменті бойынша өткізу керек болса 4.25 формуласы келесі түрде жазылады:
,
(4.26)
мұнда τ – секіруінің уақыты (өтуі), ал "А" – секіруден кейінгі алынатын функциясының мәні.
Сатылы-бірлік функциясы автоматты жүйелердің кіріс әсер ретінде өте көп қолданылады. Мысалы, сатылы-бірлік функциясының ретінде: электр генератордың жүктемесінің шапшаң өзгеруі, қозғалтқыштың валдағы жүктемесінің өсуі, бақылау жүйесінің команда осінің шапшаң бұрылуы және т.б.
Кез келген x(t) уақыт функциясының 1(t-τ) сатылы-бірлік функциясының көбейтіндісі, x(t) уақыт функциясы t ≥ τ болған кезінде ғана бар болады, ал t < τ болған кезде ол нөлге айналады [2].
СӨЖ арналған бақылау тапсырмалары
1. «Математикалық модель» дегеніміз не?
2. «Математикалық модельдеу» дегеніміз не?
3. «Зерттеу объектісі» дегеніміз не?
4. Құрылғыларды жобалау кезіндегі параметр топтарын сипаттаңыз.
5. «Қара жәшік» ұғымдарына не жатады?
6. Лаплас түрлендіруі дегеніміз не? Ол не үшін қолданылады?
7. Беріліс функциясы дегеніміз не?
8. Механикалық жүйелерді модельдеуінің физикалық әдісі неге негізделген?
9. Электрмагнитті тізбектерді модельдеудің физикалық әдісі неге негізделген?
10. Салмақтың балансы теңдеулермен сипатталған жүйе модельдеуінің физикалық әдісі неге негізделген?
11. Энергия сақтау теңдеулермен сипатталған жүйе модельдеуінің физикалық әдісі неде негізделген?
12. Сатылы-бірлік функциясы туралы не білесіз?